Forme plate, sphérique ou hyperbolique de notre Univers ?

2024 Auteur: Seth Attwood | [email protected]. Dernière modifié: 2023-12-16 16:04

À notre avis, l'univers est infini. Aujourd'hui, nous savons que la Terre a la forme d'une sphère, mais nous pensons rarement à la forme de l'Univers. En géométrie, il existe de nombreuses formes tridimensionnelles comme alternative à l'espace infini "familier". Les auteurs expliquent la différence sous la forme la plus accessible.

En regardant le ciel nocturne, il semble que l'espace s'étend indéfiniment dans toutes les directions. C'est ainsi que nous imaginons l'Univers - mais pas le fait que ce soit vrai. Après tout, il fut un temps où tout le monde pensait que la Terre était plate: la courbure de la surface terrestre est imperceptible, et l'idée que la Terre est ronde semblait incompréhensible.

Aujourd'hui, nous savons que la Terre a la forme d'une sphère. Mais nous pensons rarement à la forme de l'univers. Alors que la sphère remplaçait la terre plate, d'autres formes tridimensionnelles offrent des alternatives à l'espace infini « familier ».

Deux questions peuvent être posées sur la forme de l'univers - des questions distinctes mais interdépendantes. L'un concerne la géométrie - des calculs méticuleux d'angles et d'aires. Un autre concerne la topologie: comment des parties séparées fusionnent en une seule forme.

Les données cosmologiques suggèrent que la partie visible de l'Univers est lisse et homogène. La structure locale de l'espace est presque la même en tout point et dans toutes les directions. Seules trois formes géométriques correspondent à ces caractéristiques - plate, sphérique et hyperbolique. Examinons tour à tour ces formes, quelques considérations topologiques et conclusions basées sur des données cosmologiques.

Univers plat

En fait, c'est la géométrie de l'école. Les angles d'un triangle totalisent 180 degrés et l'aire d'un cercle est πr2. L'exemple le plus simple d'une forme tridimensionnelle plate est un espace infini ordinaire, les mathématiciens l'appellent euclidien, mais il existe d'autres options plates.

Il n'est pas facile d'imaginer ces formes, mais nous pouvons connecter notre intuition en pensant en deux dimensions au lieu de trois. En plus du plan euclidien habituel, on peut créer d'autres formes plates en découpant un morceau du plan et en collant ses bords. Disons que nous découpons un morceau de papier rectangulaire et que nous encollons les bords opposés avec du ruban adhésif. Si vous collez le bord supérieur sur le bord inférieur, vous obtenez un cylindre.

Vous pouvez également coller le bord droit vers la gauche - nous obtenons alors un beignet (les mathématiciens appellent cette forme un tore).

Vous objecterez probablement: « Quelque chose n'est pas très plat. Et vous aurez raison. On trichait un peu sur le tore plat. Si vous essayez vraiment de faire un tore à partir d'un morceau de papier de cette manière, vous rencontrerez des difficultés. Il est facile de faire un cylindre, mais cela ne fonctionnera pas pour coller ses extrémités: le papier se froissera le long du cercle intérieur du tore, mais cela ne suffira pas pour le cercle extérieur. Vous devez donc prendre une sorte de matériau élastique. Mais l'étirement modifie la longueur et les angles, et donc toute la géométrie.

Il est impossible de construire un véritable tore physique lisse à partir d'un matériau plat à l'intérieur d'un espace tridimensionnel ordinaire sans déformer la géométrie. Il reste à spéculer abstraitement sur ce que c'est que de vivre à l'intérieur d'un tore plat.

Imaginez que vous êtes un être bidimensionnel dont l'univers est un tore plat. Puisque la forme de cet univers est basée sur une feuille de papier plate, tous les faits géométriques auxquels nous sommes habitués restent les mêmes - du moins à une échelle limitée: les angles d'un triangle totalisent 180 degrés, et ainsi de suite. Mais avec le changement de topologie globale par rognage et collage, la vie changera radicalement.

Pour commencer, le tore a des lignes droites qui bouclent et reviennent au point de départ.

Sur un tore déformé, ils ont l'air incurvés, mais pour les habitants d'un tore plat, ils semblent droits. Et puisque la lumière se déplace en ligne droite, alors si vous regardez directement dans n'importe quelle direction, vous vous verrez de derrière.

C'est comme si, sur le morceau de papier d'origine, la lumière vous traversait, se dirigeait vers le bord gauche, puis réapparaissait à droite, comme dans un jeu vidéo.

Voici une autre façon d'y penser: vous (ou un rayon de lumière) traversez l'un des quatre bords et vous vous retrouvez dans une nouvelle pièce, mais en fait c'est la même pièce, seulement d'un point de vue différent. En vous promenant dans un tel univers, vous tomberez sur un nombre infini d'exemplaires de la pièce d'origine.

Cela signifie que vous emporterez un nombre infini de copies de vous-même où que vous regardiez. C'est une sorte d'effet miroir, seules ces copies ne sont pas exactement des reflets.

Sur le tore, chacun d'eux correspond à l'une ou l'autre boucle, le long de laquelle la lumière vous revient.

De la même manière, on obtient un tore plat en trois dimensions en collant les faces opposées d'un cube ou d'une autre boîte. Nous ne pourrons pas représenter cet espace à l'intérieur d'un espace infini ordinaire - il ne conviendra tout simplement pas - mais nous pourrons spéculer de manière abstraite sur la vie à l'intérieur.

Si la vie dans un tore à deux dimensions est comme un réseau bidimensionnel sans fin de pièces rectangulaires identiques, alors la vie dans un tore à trois dimensions est comme un réseau tridimensionnel sans fin de pièces cubiques identiques. Vous aussi, vous verrez un nombre infini de copies de la vôtre.

Le tore tridimensionnel n'est qu'une des dix variantes du monde plat fini. Il existe également des mondes plats infinis - par exemple, un analogue tridimensionnel d'un cylindre infini. Chacun de ces mondes aura sa propre « salle du rire » avec des « reflets ».

Notre univers pourrait-il être l'une des formes plates ?

Lorsque nous regardons dans l'espace, nous ne voyons pas un nombre infini de nos propres copies. Quoi qu'il en soit, éliminer les formes plates n'est pas facile. Premièrement, ils ont tous la même géométrie locale que l'espace euclidien, il ne sera donc pas possible de les distinguer avec des mesures locales.

Disons que vous avez même vu votre propre copie, cette image distante ne montre que votre apparence (ou celle de votre galaxie dans son ensemble) dans un passé lointain, puisque la lumière a parcouru un long chemin jusqu'à ce qu'elle vous atteigne. Peut-être que nous voyons même nos propres copies - mais changées au-delà de la reconnaissance. De plus, différentes copies sont à des distances différentes de vous, elles ne se ressemblent donc pas. Et en plus, si loin qu'on ne verra toujours rien.

Pour contourner ces difficultés, les astronomes ne recherchent généralement pas des copies d'eux-mêmes, mais des caractéristiques répétitives du phénomène visible le plus éloigné - le rayonnement de fond cosmique micro-ondes, il s'agit d'une relique du Big Bang. En pratique, cela signifie rechercher des paires de cercles avec des motifs correspondants de points chauds et froids - on suppose qu'ils sont identiques, uniquement de côtés différents.

Les astronomes ont mené une telle recherche en 2015 grâce au télescope spatial Planck. Ils ont rassemblé des données sur les types de cercles coïncidents que nous nous attendons à voir à l'intérieur d'un tore 3D plat ou d'une autre forme 3D plate - une soi-disant plaque - mais ils n'ont rien trouvé. Cela signifie que si nous vivons dans un tore, alors il semble être si grand que tous les fragments répétés se trouvent en dehors de l'univers observable.

Forme sphérique

Nous connaissons très bien les sphères bidimensionnelles - il s'agit de la surface d'une boule, d'une orange ou de la Terre. Mais et si notre univers était une sphère tridimensionnelle ?

Dessiner une sphère tridimensionnelle est difficile, mais il est facile de la décrire avec une simple analogie. Si une sphère à deux dimensions est une collection de tous les points à une distance fixe d'un point central dans l'espace tridimensionnel ordinaire, une sphère à trois dimensions (ou "trisphère") est une collection de tous les points à une distance fixe de certains point central dans l'espace à quatre dimensions.

La vie à l'intérieur d'une trisphère est très différente de la vie dans un espace plat. Pour le visualiser, imaginez que vous êtes un être bidimensionnel dans une sphère bidimensionnelle. La sphère bidimensionnelle est l'univers entier, vous ne pouvez donc pas voir l'espace tridimensionnel qui vous entoure et ne pouvez pas y entrer. Dans cet univers sphérique, la lumière voyage par le chemin le plus court: en grands cercles. Mais ces cercles vous semblent droits.

Imaginez maintenant que vous et votre copain 2D traînez au pôle Nord et qu'il est allé se promener. En s'éloignant, au début, il diminuera progressivement dans votre cercle visuel - comme dans le monde ordinaire, mais pas aussi rapidement que nous en avons l'habitude. En effet, au fur et à mesure que votre cercle visuel s'agrandit, votre ami en occupe de moins en moins.

Mais dès que votre ami franchit l'équateur, il se passe quelque chose d'étrange: il commence à grossir, alors qu'en fait il continue de s'éloigner. C'est parce que le pourcentage qu'ils occupent dans votre cercle visuel augmente.

À trois mètres du pôle Sud, votre ami aura l'air de se tenir à trois mètres de vous.

Ayant atteint le pôle Sud, il remplira complètement tout votre horizon visible.

Et quand il n'y a personne au pôle Sud, votre horizon visuel sera encore plus étrange - c'est vous. C'est parce que la lumière que vous émettez se répandra dans toute la sphère jusqu'à ce qu'elle revienne.

Cela affecte directement la vie dans le domaine 3D. Chaque point de la trisphère a un opposé, et s'il y a un objet là-bas, nous le verrons dans tout le ciel. S'il n'y a rien là-bas, nous nous verrons à l'arrière-plan - comme si notre apparence était superposée à un ballon, puis retournée et gonflée à tout l'horizon.

Mais même si la trisphère est le modèle fondateur de la géométrie sphérique, elle est loin d'être le seul espace possible. Comme nous avons construit différents modèles plats en coupant et en collant des morceaux d'espace euclidien, nous pouvons donc construire des modèles sphériques en collant des morceaux de trisphère appropriés. Chacune de ces formes collées aura, comme le tore, l'effet d'une "salle du rire", seul le nombre de chambres en formes sphériques sera fini.

Et si notre univers était sphérique ?

Même les plus narcissiques d'entre nous ne se voient pas comme l'arrière-plan au lieu du ciel nocturne. Mais, comme dans le cas d'un tore plat, le fait que nous ne voyions pas quelque chose ne veut pas du tout dire qu'il n'existe pas. Les limites d'un univers sphérique peuvent être plus grandes que les limites du monde visible, et l'arrière-plan n'est tout simplement pas visible.

Mais contrairement à un tore, un univers sphérique peut être détecté à l'aide de mesures locales. Les formes sphériques diffèrent de l'espace euclidien infini non seulement par la topologie globale, mais aussi par la petite géométrie. Par exemple, étant donné que les lignes droites en géométrie sphérique sont de grands cercles, les triangles y sont plus "corporels" que ceux d'Euclide et la somme de leurs angles dépasse 180 degrés.

Fondamentalement, la mesure des triangles cosmiques est le principal moyen de vérifier la courbure de l'univers. Pour chaque point chaud ou froid du fond diffus cosmologique, son diamètre et sa distance à la Terre, formant les trois côtés du triangle, sont connus. Nous pouvons mesurer l'angle formé par la tache dans le ciel nocturne - et ce sera l'un des coins du triangle. Nous pouvons alors vérifier si la combinaison des longueurs des côtés et de la somme des angles correspond à une géométrie plane, sphérique ou hyperbolique (où la somme des angles du triangle est inférieure à 180 degrés).

La plupart de ces calculs, ainsi que d'autres mesures de courbure, supposent que l'univers est soit complètement plat, soit très proche de lui. Une équipe de recherche a récemment suggéré que certaines des données de 2018 du télescope spatial Planck plaidaient davantage en faveur d'un univers sphérique, bien que d'autres chercheurs aient soutenu que les preuves présentées pourraient être attribuées à une erreur statistique.

Géométrie hyperbolique

Contrairement à une sphère qui se referme sur elle-même, la géométrie hyperbolique ou l'espace à courbure négative s'ouvre vers l'extérieur. C'est la géométrie du chapeau à large bord, du récif de corail et de la selle. Le modèle de base de la géométrie hyperbolique est l'espace infini, tout comme le plat euclidien. Mais comme une forme hyperbolique s'étend vers l'extérieur beaucoup plus rapidement qu'une forme plate, il n'y a aucun moyen d'adapter même un plan hyperbolique à deux dimensions à l'intérieur de l'espace euclidien ordinaire, si nous ne voulons pas déformer sa géométrie. Mais il existe une image déformée du plan hyperbolique connu sous le nom de disque de Poincaré.

De notre point de vue, les triangles proches du cercle limite semblent être beaucoup plus petits que ceux proches du centre, mais du point de vue de la géométrie hyperbolique, tous les triangles sont identiques. Si nous essayions de représenter ces triangles vraiment de la même taille - peut-être en utilisant un matériau élastique et en gonflant chaque triangle à tour de rôle, en se déplaçant du centre vers l'extérieur - notre disque ressemblerait à un chapeau à large bord et se plierait de plus en plus. Et à mesure que vous vous rapprochez de la frontière, cette courbure deviendrait incontrôlable.

En géométrie euclidienne ordinaire, la circonférence d'un cercle est directement proportionnelle à son rayon, mais en géométrie hyperbolique, le cercle croît de façon exponentielle par rapport au rayon. Un tas de triangles se forme près de la limite du disque hyperbolique

À cause de cette caractéristique, les mathématiciens aiment dire qu'il est facile de se perdre dans l'espace hyperbolique. Si votre ami s'éloigne de vous dans l'espace euclidien normal, il commencera à s'éloigner, mais assez lentement, car votre cercle visuel ne s'agrandit pas si vite. Dans l'espace hyperbolique, votre cercle visuel s'étend de façon exponentielle, de sorte que votre ami se rétrécira bientôt à un point infiniment petit. Ainsi, si vous n'avez pas suivi son itinéraire, il est peu probable que vous le retrouviez plus tard.

Même en géométrie hyperbolique, la somme des angles d'un triangle est inférieure à 180 degrés - par exemple, la somme des angles de certains triangles de la mosaïque du disque de Poincaré n'est que de 165 degrés.

Leurs côtés semblent être indirects, mais c'est parce que nous examinons la géométrie hyperbolique à travers une lentille déformante. Pour un habitant du disque de Poincaré, ces courbes sont en fait des lignes droites, donc le moyen le plus rapide pour se rendre d'un point A à un point B (tous deux au bord) est de passer par une coupe vers le centre.

Il existe un moyen naturel de faire un analogue tridimensionnel du disque de Poincaré - prenez une boule tridimensionnelle et remplissez-la de formes tridimensionnelles, qui diminuent progressivement à mesure qu'elles se rapprochent de la sphère limite, comme des triangles sur un disque de Poincaré. Et, comme pour les plans et les sphères, nous pouvons créer toute une série d'autres espaces hyperboliques tridimensionnels en découpant des morceaux appropriés d'une boule hyperbolique tridimensionnelle et en collant ses faces.

Eh bien, notre Univers est-il hyperbolique ?

La géométrie hyperbolique, avec ses triangles étroits et ses cercles en croissance exponentielle, ne ressemble pas du tout à l'espace qui nous entoure. En effet, comme nous l'avons déjà noté, la plupart des mesures cosmologiques penchent vers un univers plat.

Mais nous ne pouvons pas exclure que nous vivions dans un monde sphérique ou hyperbolique, car de petits fragments des deux mondes semblent presque plats. Par exemple, la somme des angles des petits triangles en géométrie sphérique n'est que légèrement supérieure à 180 degrés, et en géométrie hyperbolique, elle n'est que légèrement inférieure.

C'est pourquoi les anciens pensaient que la Terre était plate - la courbure de la Terre n'est pas visible à l'œil nu. Plus la forme sphérique ou hyperbolique est grande, plus chacune de ses parties est plate, donc, si notre Univers a une forme sphérique ou hyperbolique extrêmement grande, sa partie visible est si proche du plat que sa courbure ne peut être détectée qu'avec des instruments ultra-précis, et nous ne les avons pas encore inventés. …