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Que sont les fractales : la beauté des mathématiques et l'infini
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Anonim

Les fractales sont connues depuis un siècle, ont été bien étudiées et ont de nombreuses applications dans la vie. Cependant, ce phénomène repose sur une idée très simple: une multitude de formes, d'une beauté et d'une variété infinies, peuvent être obtenues à partir de structures relativement simples en utilisant seulement deux opérations - la copie et la mise à l'échelle.

Qu'ont en commun un arbre, un bord de mer, un nuage ou des vaisseaux sanguins dans notre main ? À première vue, il peut sembler que tous ces objets n'ont rien en commun. Cependant, en fait, il y a une propriété de structure inhérente à tous les objets répertoriés: ils sont auto-similaires. De la branche, ainsi que du tronc de l'arbre, il y a des branches plus petites, d'elles - encore plus petites, etc., c'est-à-dire que la branche est comme l'arbre entier.

Le système circulatoire est organisé de la même manière: les artérioles partent des artères et d'elles - les plus petits capillaires à travers lesquels l'oxygène pénètre dans les organes et les tissus. Regardons les images satellites de la côte maritime: nous verrons des baies et des péninsules; jetons-y un coup d'œil, mais à vol d'oiseau: nous verrons des baies et des caps; Imaginons maintenant que nous sommes debout sur la plage et que nous regardons nos pieds: il y a toujours des cailloux qui dépassent dans l'eau plus que les autres.

C'est-à-dire que le littoral reste similaire à lui-même lors d'un zoom avant. Le mathématicien américain (bien qu'élevé en France) Benoit Mandelbrot a appelé cette propriété des objets la fractalité, et ces objets eux-mêmes - fractales (du latin fractus - brisé).

Fractales
Fractales

Qu'est-ce qu'une fractale ?

Ce concept n'a pas de définition stricte. Par conséquent, le mot "fractale" n'est pas un terme mathématique. Typiquement, une fractale est une figure géométrique qui satisfait une ou plusieurs des propriétés suivantes: • Elle a une structure complexe à n'importe quel grossissement (par opposition, par exemple, à une ligne droite dont une partie est la figure géométrique la plus simple - un segment de ligne). • Est (approximativement) auto-similaire. • A une dimension fractionnaire de Hausdorff (fractale), qui est supérieure à la dimension topologique. • Peut être construit avec des procédures récursives.

Géométrie et algèbre

L'étude des fractales au tournant des XIXe et XXe siècles était plutôt épisodique que systématique, car les premiers mathématiciens étudiaient principalement les "bons" objets qui se prêtaient à la recherche en utilisant des méthodes et des théories générales. En 1872, le mathématicien allemand Karl Weierstrass construit un exemple de fonction continue qui n'est dérivable nulle part. Cependant, sa construction était entièrement abstraite et difficile à percevoir.

Ainsi, en 1904, le Suédois Helge von Koch a inventé une courbe continue, qui n'a de tangente nulle part, et elle est assez simple à dessiner. Il s'est avéré qu'il a les propriétés d'une fractale. L'une des variantes de cette courbe s'appelle le "flocon de Koch".

Les idées d'auto-similitude des figures ont été reprises par le Français Paul Pierre Lévy, futur mentor de Benoit Mandelbrot. En 1938, il publie son article "Courbes et surfaces planes et spatiales, constituées de parties similaires au tout", qui décrit une autre fractale - la courbe C de Lévy. Toutes ces fractales ci-dessus peuvent être attribuées conditionnellement à une classe de fractales constructives (géométriques).

Végétation
Végétation

Une autre classe est celle des fractales dynamiques (algébriques), qui incluent l'ensemble de Mandelbrot. Les premières études dans ce sens ont commencé au début du 20e siècle et sont associées aux noms des mathématiciens français Gaston Julia et Pierre Fatou. En 1918, le mémoire de près de deux cents pages de Julia, consacré aux itérations de fonctions rationnelles complexes, a été publié, dans lequel les ensembles de Julia ont été décrits - toute une famille de fractales étroitement liées à l'ensemble de Mandelbrot. Cet ouvrage a reçu le prix de l'Académie française, mais il ne contenait pas une seule illustration, il était donc impossible d'apprécier la beauté des objets découverts.

Malgré le fait que cet ouvrage glorifiait Julia parmi les mathématiciens de l'époque, il fut vite oublié. Ce n'est qu'un demi-siècle plus tard que les ordinateurs refont surface: ce sont eux qui rendent visibles la richesse et la beauté du monde des fractales.

Dimensions fractales

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Comme vous le savez, la dimension (nombre de mesures) d'une figure géométrique est le nombre de coordonnées nécessaires pour déterminer la position d'un point se trouvant sur cette figure.

Par exemple, la position d'un point sur une courbe est déterminée par une coordonnée, sur une surface (pas nécessairement un plan) par deux coordonnées, dans l'espace tridimensionnel par trois coordonnées.

D'un point de vue mathématique plus général, vous pouvez définir la dimension de cette manière: une augmentation des dimensions linéaires, disons, deux fois, pour les objets unidimensionnels (d'un point de vue topologique) (segment) entraîne une augmentation de la taille (longueur) deux fois, pour le bidimensionnel (carré) la même augmentation des dimensions linéaires entraîne une augmentation de la taille (surface) de 4 fois, pour le tridimensionnel (cube) - de 8 fois. C'est-à-dire que la dimension "réelle" (appelée Hausdorff) peut être calculée comme le rapport du logarithme d'une augmentation de la "taille" d'un objet au logarithme d'une augmentation de sa taille linéaire. Soit, pour le segment D = log (2) / log (2) = 1, pour le plan D = log (4) / log (2) = 2, pour le volume D = log (8) / log (2) = 3.

Calculons maintenant la dimension de la courbe de Koch, pour la construction de laquelle le segment unitaire est divisé en trois parties égales et l'intervalle médian est remplacé par un triangle équilatéral sans ce segment. Avec une augmentation des dimensions linéaires du segment minimum trois fois, la longueur de la courbe de Koch augmente en log (4) / log (3) ~ 1, 26. C'est-à-dire que la dimension de la courbe de Koch est fractionnaire !

Sciences et arts

En 1982, le livre de Mandelbrot "La géométrie fractale de la nature" a été publié, dans lequel l'auteur a rassemblé et systématisé presque toutes les informations disponibles à l'époque sur les fractales et les a présentées de manière simple et accessible. Dans sa présentation, Mandelbrot a mis l'accent non pas sur des formules encombrantes et des constructions mathématiques, mais sur l'intuition géométrique des lecteurs. Grâce aux illustrations générées par ordinateur et aux récits historiques, avec lesquels l'auteur a habilement dilué la composante scientifique de la monographie, le livre est devenu un best-seller et les fractales sont devenues connues du grand public.

Leur succès auprès des non mathématiciens est en grande partie dû au fait qu'à l'aide de constructions et de formules très simples qu'un lycéen peut comprendre, des images d'une complexité et d'une beauté étonnantes sont obtenues. Lorsque les ordinateurs personnels sont devenus suffisamment puissants, même toute une tendance artistique est apparue - la peinture fractale, et presque tous les propriétaires d'ordinateurs pouvaient le faire. Désormais, sur Internet, vous pouvez facilement trouver de nombreux sites dédiés à ce sujet.

courbe de Koch
courbe de Koch

Guerre et Paix

Comme indiqué ci-dessus, l'un des objets naturels ayant des propriétés fractales est le littoral. Une histoire intéressante est liée à lui, ou plutôt à une tentative de mesure de sa longueur, qui a constitué la base de l'article scientifique de Mandelbrot, et est également décrite dans son livre "La géométrie fractale de la nature".

Il s'agit d'une expérience mise en scène par Lewis Richardson, un mathématicien, physicien et météorologue très talentueux et excentrique. L'une des directions de ses recherches était une tentative de trouver une description mathématique des causes et de la probabilité d'un conflit armé entre les deux pays. Parmi les paramètres qu'il a pris en compte figurait la longueur de la frontière commune des deux pays en guerre. Lorsqu'il a collecté des données pour des expériences numériques, il a constaté que dans différentes sources, les données sur la frontière commune entre l'Espagne et le Portugal sont très différentes.

Cela l'a amené à découvrir ce qui suit: la longueur des frontières d'un pays dépend de la règle avec laquelle on les mesure. Plus l'échelle est petite, plus la bordure est longue. Cela est dû au fait qu'avec un grossissement plus élevé, il devient possible de prendre en compte de plus en plus de virages côtiers, qui étaient auparavant ignorés en raison de la rugosité des mesures. Et si, à chaque augmentation d'échelle, les coudes des lignes auparavant non comptabilisés s'ouvrent, alors il s'avère que la longueur des limites est infinie! Certes, en réalité, cela ne se produit pas - la précision de nos mesures a une limite finie. Ce paradoxe est appelé l'effet Richardson.

Fractales
Fractales

Fractales (géométriques) constructives

L'algorithme pour construire une fractale constructive dans le cas général est le suivant. Tout d'abord, nous avons besoin de deux formes géométriques appropriées, appelons-les une base et un fragment. À la première étape, la base de la future fractale est représentée. Ensuite, certaines de ses parties sont remplacées par un fragment pris à une échelle appropriée - c'est la première itération de la construction. Ensuite, la figure résultante change à nouveau certaines parties en figures similaires à un fragment, et ainsi de suite. Si nous continuons ce processus indéfiniment, alors à la limite nous obtenons une fractale.

Considérons ce processus en utilisant la courbe de Koch comme exemple. Comme base pour la courbe de Koch, vous pouvez prendre n'importe quelle courbe (pour le "flocon de Koch", c'est un triangle). Mais nous nous limiterons au cas le plus simple - un segment. Un fragment est une ligne brisée indiquée en haut de la figure. Après la première itération de l'algorithme, dans ce cas, le segment initial coïncidera avec le fragment, puis chacun de ses segments constitutifs sera remplacé par une ligne brisée, semblable à un fragment, etc. La figure montre les quatre premières étapes de ce processus.

Fractales
Fractales

Dans le langage des mathématiques: fractales dynamiques (algébriques)

Les fractales de ce type surviennent dans l'étude des systèmes dynamiques non linéaires (d'où le nom). Le comportement d'un tel système peut être décrit par une fonction non linéaire complexe (polynôme) f (z). Prenez un point de départ z0 sur le plan complexe (voir encadré). Considérons maintenant une telle suite infinie de nombres sur le plan complexe, dont chacun des éléments suivants est obtenu à partir du précédent: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

Selon le point initial z0, une telle séquence peut se comporter différemment: tend vers l'infini comme n -> ∞; converger vers un point final; prendre cycliquement un certain nombre de valeurs fixes; des options plus complexes sont également possibles.

Nombres complexes

Un nombre complexe est un nombre composé de deux parties - réel et imaginaire, c'est-à-dire la somme formelle x + iy (ici x et y sont des nombres réels). je suis le soi-disant. unité imaginaire, c'est-à-dire un nombre qui satisfait l'équation i ^ 2 = -1. Les opérations mathématiques de base sont définies sur des nombres complexes - addition, multiplication, division, soustraction (seule l'opération de comparaison n'est pas définie). Pour afficher les nombres complexes, une représentation géométrique est souvent utilisée - sur le plan (on l'appelle complexe), la partie réelle est posée en abscisse, et la partie imaginaire en ordonnée, tandis que le nombre complexe correspondra à un point à cartésien coordonnées x et y.

Ainsi, tout point z du plan complexe a son propre caractère de comportement au cours des itérations de la fonction f (z), et le plan entier est divisé en parties. Dans ce cas, les points situés sur les frontières de ces parties ont la propriété suivante: pour un déplacement arbitrairement petit, la nature de leur comportement change fortement (de tels points sont appelés points de bifurcation). Ainsi, il s'avère que les ensembles de points avec un type de comportement spécifique, ainsi que les ensembles de points de bifurcation, ont souvent des propriétés fractales. Ce sont les ensembles de Julia pour la fonction f (z).

Famille de dragons

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En variant la base et le fragment, vous pouvez obtenir une incroyable variété de fractales constructives.

De plus, des opérations similaires peuvent être effectuées dans un espace tridimensionnel. Des exemples de fractales volumétriques sont l'éponge de Menger, la pyramide de Sierpinski et d'autres.

La famille des dragons est également appelée fractales constructives. Parfois, ils sont appelés par le nom des découvreurs « dragons de la Route-Harter » (dans leur forme, ils ressemblent à des dragons chinois). Il existe plusieurs façons de tracer cette courbe. Le plus simple et le plus intuitif d'entre eux est le suivant: vous devez prendre une bande de papier suffisamment longue (plus le papier est fin, mieux c'est) et la plier en deux. Puis pliez-le à nouveau deux fois dans le même sens que la première fois.

Après plusieurs répétitions (généralement après cinq ou six plis, la bande devient trop épaisse pour être pliée davantage), vous devez déplier la bande et essayer de former des angles de 90 degrés au niveau des plis. Ensuite, la courbe du dragon se révélera de profil. Bien sûr, ce ne sera qu'une approximation, comme toutes nos tentatives pour représenter des objets fractals. L'ordinateur vous permet de représenter de nombreuses autres étapes de ce processus et le résultat est une très belle figure.

L'ensemble Mandelbrot est construit d'une manière légèrement différente. Considérons la fonction fc (z) = z ^ 2 + c, où c est un nombre complexe. Construisons une suite de cette fonction avec z0 = 0, selon le paramètre c, elle peut diverger à l'infini ou rester bornée. De plus, toutes les valeurs de c pour lesquelles cette suite est bornée forment l'ensemble de Mandelbrot. Il a été étudié en détail par Mandelbrot lui-même et d'autres mathématiciens, qui ont découvert de nombreuses propriétés intéressantes de cet ensemble.

On voit que les définitions des ensembles de Julia et Mandelbrot sont similaires. En fait, ces deux ensembles sont étroitement liés. A savoir, l'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des valeurs du paramètre complexe c pour lequel l'ensemble de Julia fc (z) est connexe (un ensemble est dit connexe s'il ne peut pas être scindé en deux parties disjointes, avec quelques conditions supplémentaires).

Fractales
Fractales

Fractales et vie

Aujourd'hui, la théorie des fractales est largement utilisée dans divers domaines de l'activité humaine. En plus d'un objet de recherche purement scientifique et de la peinture fractale déjà mentionnée, les fractales sont utilisées en théorie de l'information pour compresser des données graphiques (ici la propriété d'auto-similarité des fractales est principalement utilisée - après tout, afin de se souvenir d'un petit fragment de un dessin et des transformations avec lesquels vous pouvez obtenir le reste des pièces, beaucoup moins de mémoire est nécessaire que pour stocker le fichier entier).

En ajoutant des perturbations aléatoires aux formules définissant la fractale, on peut obtenir des fractales stochastiques qui véhiculent de manière très plausible des objets réels - des éléments de relief, la surface des plans d'eau, certaines plantes, ce qui est utilisé avec succès en physique, géographie et infographie pour obtenir une plus grande similitude des objets simulés avec le réel. En électronique, des antennes sont produites qui ont une forme fractale. Prenant peu de place, ils offrent une réception de signal d'assez haute qualité.

Les économistes utilisent des fractales pour décrire les courbes de taux de change (une propriété découverte par Mandelbrot). Ceci conclut cette petite excursion dans le monde incroyablement beau et diversifié des fractales.

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