Henry Segerman : Harmonie matérielle en mathématiques

2024 Auteur: Seth Attwood | [email protected]. Dernière modifié: 2023-12-16 16:04

Selon la légende, Pythagore fut le premier à découvrir que deux cordes également étirées émettent un son agréable si leurs longueurs sont rapportées sous forme de petits nombres entiers. Depuis lors, les gens ont été fascinés par le lien mystérieux entre la beauté et les mathématiques, une harmonie complètement matérielle des formes, des vibrations, de la symétrie - et une abstraction parfaite des nombres et des relations.

Cette connexion est éphémère, mais tangible, ce n'est pas pour rien que les artistes utilisent les lois de la géométrie depuis de nombreuses années et s'inspirent des lois mathématiques. Henry Segerman a eu du mal à abandonner cette source d'idées: après tout, il est mathématicien par vocation et par profession.

Bouteille de Klein « En collant mentalement les bords de deux bandes de Mobius », explique Henry Segerman, « vous pouvez obtenir une bouteille de Klein, qui a également une surface. Ici, nous voyons une bouteille de Klein fabriquée à partir de bandes de Mobius avec un bord arrondi.

Plutôt, à quoi cela pourrait ressembler dans un espace tridimensionnel. Étant donné que les bandes Mobius « rondes » originales vont à l'infini, une telle bouteille de Klein continuera à l'infini deux fois et se croisera, ce que l'on peut voir dans la sculpture. Une copie agrandie de cette sculpture orne le Département de mathématiques et de statistiques de l'Université de Melbourne.

Fractales

« Je suis né dans une famille de scientifiques et je pense que mon intérêt pour tout ce qui nécessite une pensée spatiale avancée est lié à cela », explique Henry. Aujourd'hui, il est déjà diplômé des études supérieures et doctorales d'Oxford dans les universités de Stanford et occupe le poste de professeur agrégé à l'Université d'Oklahoma.

Mais une carrière scientifique réussie n'est qu'une facette de sa personnalité aux multiples facettes: il y a plus de 12 ans, le mathématicien a commencé à organiser des événements artistiques… dans le monde virtuel de Second Life.

Ce simulateur en trois dimensions avec des éléments d'un réseau social était alors très populaire, permettant aux utilisateurs non seulement de communiquer entre eux, mais aussi d'équiper leurs "avatars" virtuels et des espaces de divertissement, de travail, etc.

Nom: Henry Segerman

Né en 1979

Éducation: Université de Stanford

Ville: Stillwater, États-Unis

Devise: « Prenez une seule idée, mais montrez-la aussi clairement que possible. »

Segerman est venu ici, armé de formules et de nombres, et a arrangé son monde virtuel de manière mathématique, le remplissant de figures fractales sans précédent, de spirales et même de tesseracts, d'hypercubes à quatre dimensions. « Le résultat est une projection d'un hypercube en quatre dimensions dans l'univers en trois dimensions de Second Life - qui est lui-même une projection d'un monde virtuel en trois dimensions sur un écran plat en deux dimensions », note l'artiste.

La courbe de Hilbert: une ligne continue remplit l'espace d'un cube, sans jamais s'interrompre ni se croiser.

Les courbes de Hilbert sont des structures fractales, et si vous effectuez un zoom avant, vous pouvez voir que des parties de cette courbe suivent la forme de l'ensemble. « Je les ai vues des milliers de fois dans des illustrations et des modèles informatiques, mais lorsque j'ai pris pour la première fois une telle sculpture 3D dans mes mains, j'ai immédiatement remarqué qu'elle était également élastique », explique Segerman. "L'incarnation physique des concepts mathématiques est toujours surprenante avec quelque chose."

Cependant, il aimait beaucoup plus travailler avec des sculptures matérielles. «Il y a d'énormes quantités d'informations qui circulent autour de nous tout le temps», explique Segerman. - Heureusement, le monde réel dispose d'une bande passante très large, qui n'est pas encore disponible sur le Web.

Donnez à une personne une chose finie, une forme intégrale - et elle la percevra immédiatement dans toute sa complexité, sans attendre le chargement. Ainsi, depuis 2009, Segerman a créé un peu plus d'une centaine de sculptures, et chacune d'elles est une incarnation visuelle et, dans la mesure du possible, physique exacte de concepts et de lois mathématiques abstraits.

Polyèdres

L'évolution des expériences artistiques de Segerman avec l'impression 3D répète étrangement l'évolution des idées mathématiques. Parmi ses premières expériences figuraient les solides de Platon classiques, un ensemble de cinq figures symétriques, pliées en triangles, pentagones et carrés réguliers. Ils ont été suivis de polyèdres semi-réguliers - 13 solides d'Archimède, dont les faces sont formées de polygones réguliers inégaux.

Modèle 3D Stanford Rabbit créé en 1994. Composé de près de 70 000 triangles, il sert de test simple et populaire des performances des algorithmes logiciels. Par exemple, sur un lapin, vous pouvez tester l'efficacité de la compression des données ou du lissage de surface pour l'infographie.

Donc, pour les spécialistes, cette forme est la même que la phrase "Mangez encore un peu de ces petits pains français mous" pour ceux qui aiment jouer avec les polices informatiques. La sculpture Stanford Bunny est du même modèle, dont la surface est pavée des lettres du mot bunny.

Déjà ces formes simples, ayant migré des illustrations bidimensionnelles et du monde idéal de l'imagination à la réalité tridimensionnelle, suscitent l'admiration intérieure pour leur beauté laconique et parfaite. « La relation entre la beauté mathématique et la beauté des œuvres d'art visuelles ou sonores me semble très fragile.

Après tout, beaucoup de gens sont parfaitement conscients d'une forme de cette beauté, ne comprenant absolument pas l'autre. Les idées mathématiques peuvent être traduites sous des formes visibles ou vocales, mais pas toutes, et pas aussi facilement qu'il y paraît », ajoute Segerman.

Bientôt, des formes de plus en plus complexes ont suivi les figures classiques, jusqu'à celles auxquelles Archimède ou Pythagore auraient à peine pu penser - des polyèdres réguliers qui remplissent l'espace hyperbolique de Lobatchevsky sans intervalle.

De telles figures aux noms incroyables comme « nid d'abeille tétraédrique d'ordre 6 » ou « nid d'abeille en mosaïque hexagonale » ne peuvent être imaginées sans une image visuelle à portée de main. Ou - l'une des sculptures de Segerman, qui les représentent dans notre espace euclidien tridimensionnel habituel.

Solides platoniciens: un tétraèdre, un octaèdre et un icosaèdre pliés en triangles réguliers, ainsi qu'un cube et un icosaèdre constitués de carrés basés sur des pentagones.

Platon lui-même les associe à quatre éléments: particules octaédriques "lisses", à son avis, air plié, icosaèdres "fluides" - eau, cubes "denses" - terre, et trétraèdres tranchants et "épineux" - feu. Le cinquième élément, le dodécaèdre, était considéré par le philosophe comme une particule du monde des idées.

Le travail de l'artiste commence par un modèle 3D, qu'il construit dans le package professionnel Rhinoceros. En gros, c'est comme ça que ça se termine: la production des sculptures elle-même, l'impression du modèle sur une imprimante 3D, Henry commande simplement via Shapeways, une grande communauté en ligne d'amateurs d'impression 3D, et reçoit un objet fini en composites à matrice métallique à base de plastique ou d'acier-bronze. « C'est très facile, dit-il. « Vous venez de télécharger un modèle sur le site, cliquez sur le bouton Ajouter au panier, passez une commande et dans quelques semaines, il vous sera livré par courrier. »

Complément en huit Imaginez que vous faites un nœud à l'intérieur d'un solide et que vous le retirez ensuite; la cavité restante est appelée le complément du nœud. Ce modèle montre l'ajout d'un des nœuds les plus simples, le chiffre huit.

beauté

En fin de compte, l'évolution des sculptures mathématiques de Segerman nous entraîne dans le domaine complexe et envoûtant de la topologie. Cette branche des mathématiques étudie les propriétés et les déformations des surfaces planes et des espaces de différentes dimensions, et leurs caractéristiques plus larges sont importantes pour elle que pour la géométrie classique.

Ici, un cube peut être facilement transformé en boule, comme de la pâte à modeler, et une tasse avec une poignée peut être roulée en un beignet sans rien casser d'important - un exemple bien connu incarné dans l'élégante blague topologique de Segerman.

Le tesseract est un cube à quatre dimensions: tout comme un carré peut être obtenu en déplaçant un segment perpendiculairement à lui d'une distance égale à sa longueur, un cube peut être obtenu en copiant de la même manière un carré en trois dimensions, et en déplaçant un cube dans le quatrième, nous allons "dessiner" un tesseract, ou hypercube. Il aura 16 sommets et 24 faces, dont les projections dans notre espace tridimensionnel ressemblent un peu à un cube tridimensionnel régulier.

«En mathématiques, le sens esthétique est très important, les mathématiciens aiment les« beaux »théorèmes, - argumente l'artiste. - Il est difficile de déterminer en quoi consiste exactement cette beauté, comme d'ailleurs dans d'autres cas. Mais je dirais que la beauté du théorème réside dans sa simplicité, qui permet de comprendre quelque chose, de voir des connexions simples qui semblaient auparavant incroyablement complexes.

Au cœur de la beauté mathématique peut se trouver un minimalisme pur et efficace - et une exclamation surprise de "Aha!" ". La beauté profonde des mathématiques peut être aussi intimidante que l'éternité glaciale du palais de la Reine des Neiges. Cependant, toute cette froide harmonie reflète invariablement l'ordre intérieur et la régularité de l'Univers dans lequel nous vivons. Les mathématiques ne sont qu'un langage qui s'adapte parfaitement à ce monde élégant et complexe.

Paradoxalement, il contient des correspondances physiques et des applications pour presque toutes les déclarations dans le langage des formules et relations mathématiques. Même les constructions les plus abstraites et "artificielles" trouveront tôt ou tard une application dans le monde réel.

Une blague topologique: d'un certain point de vue, les surfaces d'un cercle et d'un beignet sont "les mêmes", ou, plus précisément, elles sont homéomorphes, puisqu'elles sont capables de se transformer l'une dans l'autre sans cassures ni colles, grâce à déformation progressive.

La géométrie euclidienne est devenue le reflet du monde stationnaire classique, le calcul différentiel s'est avéré utile pour la physique newtonienne. Il s'est avéré que l'incroyable métrique riemannienne est nécessaire pour décrire l'univers instable d'Einstein, et les espaces hyperboliques multidimensionnels ont trouvé une application dans la théorie des cordes.

Dans cette étrange correspondance des calculs abstraits et des nombres aux fondements de notre réalité, se cache peut-être le secret de la beauté que l'on ressent nécessairement derrière tous les calculs froids des mathématiciens.